已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的两个焦点分别是F1（-1，0）、F2（1，0），且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1，F2距离的等差中项．（1）求椭圆C的方程 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：杨浦区一模难度：来源：

已知椭圆C：

=1的两个焦点分别是F₁（-1，0）、F₂（1，0），且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F₁，F₂距离的等差中项．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点F₂的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点Q（x₀，y₀），求y₀的取值范围．

答案

（1）设椭圆C的半焦距是c．依题意，得c=1．…（1分）
由题意焦距是椭圆C上一点p到两焦点F₁，F₂距离的等差中项，得4c=2a，∴a=2
∴b²=a²-c²=3．…（4分）
故椭圆C的方程为

=1．…（6分）
（2）当MN⊥x轴时，显然y₀=0．…（7分）
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
代入椭圆方程，消去y整理得（3+4k²）x²-8k² x+4（k²-3）=0．…（9分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为Q（x₃，y₃），则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

．…（10分）
所以x₃=

4k2

3+4k2

，y₃=k（x₃-1）=

-3k

3+4k2

，
∴线段MN的垂直平分线方程为y+

3+4k2

（x-

4k2

3+4k2

）．
在上述方程中令x=0，得y₀=

3+4k2

+4k

．…（12分）
当k＜0时，

+4k≤-4

；当k＞0时，

+4k≥4

．
所以-

≤y₀＜0，或0＜y₀≤

．…（13分）
综上，y₀的取值范围是[-

，

]．…（14分）

核心考点

试题【已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的两个焦点分别是F1（-1，0）、F2（1，0），且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1，F2距离的等差中项．（1）求椭圆C的方程】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）经过点M(1，

)，其离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m (|k|≤

)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．

题型：海淀区一模难度：| 查看答案

已知椭圆E：

=1（a，b＞0）与双曲线G：x²-y²=4，若椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，椭圆E的焦点恰为双曲线G的顶点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在一个以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且

⊥

？若存在请求出该圆的方程，若不存在请说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F（2，0）的距离为

，过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线l的斜率．

题型：通州区一模难度：| 查看答案

已知椭圆E：

=1(a＞b＞0)的左焦点F1(-

，0)，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF₁相切于线段DF₁的中点F．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G：

9x2

=1，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？
（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：

9x2

2a2

4y2

=1于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．

题型：不详难度：| 查看答案

若椭圆的两个焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（5，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为______．

题型：上海难度：| 查看答案

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