题目

题型：陕西省月考题难度：来源：

已知圆C：x²+y²﹣2x+4y﹣4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由．

答案

解：圆C化成标准方程为（x﹣1）²+（y+2）²=9，
假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．
∵CM⊥l，即k_CMk_l=×1=﹣1
∴b=﹣a﹣1
∴直线l的方程为y﹣b=x﹣a，即x﹣y﹣2a﹣1=0
∴|CM|²=（）²=2（1﹣a）²
∴|MB|²=|CB|²﹣|CM|²=﹣2a²+4a+7
∵|MB|=|OM|
∴﹣2a²+4a+7=a²+b²，得
a=﹣1或，b=2
当a=时，b=﹣，此时直线l的方程为x﹣y﹣4=0
当a=﹣1时，b=0，此时直线l的方程为x﹣y+1=0
故这样的直线l是存在的，方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0．