已知△ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l. (1)求边AB中点的轨迹方程; (2)当AB边通过坐标原点O时,求△ABC的面积; (3)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程. |
(1)设AB所在直线的方程为y=x+m 由得4x2+6mx+3m2-4=0.(2分) 因为A、B在椭圆上,所以△=-12m2+64>0.-<m< 设A、B两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),中点为P(x0,y0) 则x1+x2=-,m=-x0,y0=x0-x0=-x0 所以中点轨迹方程为y=-x(-<x<,且x≠-)(4分)
(2)∵AB∥l,且AB边通过点(0,0),故AB所在直线的方程为y=x. 此时m=0,由(1)可得x=±1,所以|AB|=|x1-x2|=2(6分) 又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离,所以h=(8分) S△ABC=|AB|•h=2.(10分)
(3)由(1)得x1+x2=-,x1x2=, 所以|AB|=|x1-x2|=.(12分) 又因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距离,即|BC|=.(14分) 所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11. 所以当m=-1时,AC边最长,(这时△=-12+64>0) 此时AB所在直线的方程为y=x-1.(16分) |
核心考点
试题【已知△ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l.(1)求边AB中点的轨迹方程;(2)当AB边通过坐标原点O时,求△ABC】;主要考察你对
直线方程的几种形式等知识点的理解。
[详细]
举一反三
关于x、y的方程组有无穷多组解,实数m=______. |
在直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),则它的截距式方程为______;以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ,则直线,被曲线C所截得的弦长等于______. |
已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,左焦点为F,直线AF与圆M:x2+y2+6x-2y+7=0相切.过点(0,-)的直线与椭圆C交于P,Q两点. (I)求椭圆C的方程; (II)当△APQ的面积达到最大时,求直线的方程. |
已知直线l1:x-3y+1=0,l2:2x+my-1=0.若l1∥l2,则实数m=______. |