题目

题型：不详难度：来源：

如图，四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=SB=SC=2CD=2，侧面SBC⊥底面ABCD．
（1）由SA的中点E作底面的垂线EH，试确定垂足H的位置；
（2）求二面角E-BC-A的大小．

答案

（1）作SO⊥BC于O，则SO⊂平面SBC，
又面SBC⊥底面ABCD，
面SBC∩面ABCD=BC，
∴SO⊥底面ABCD①
又SO⊂平面SAO，∴面SAO⊥底面ABCD，
作EH⊥AO，∴EH⊥底面ABCD②
即H为垂足，由①②知，EH∥SO，
又E为SA的中点，∴H是AO的中点．

（2）过H作HF⊥BC于F，连接EF，
由（1）知EH⊥平面ABCD，∴EH⊥BC，
又EH∩HF=H，∴BC⊥平面EFH，∴BC⊥EF，
∴∠HFE为面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角．
在等边三角形SBC中，∵SO⊥BC，
∴O为BC中点，又BC=2．
∴SO=

22-12

=

3

，EH=

1

2

SO=

3

2

，
又HF=

1

2

AB=1，
∴在Rt△EHF中，tan∠HFE=

EH

HF

=

3 2

1

=

3

2

，
∴∠HFE=arctan

3

2

．
即二面角E-BC-A的大小为arctan

3

2

．