题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD，△PAB≌△CBA，在它的俯视图ABCD中，BC=CD，AD=1，∠BCD=∠BAD=60°。
（1）求证：△PBC是直角三角形；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

答案

（1）证明：由已知，点P在底面ABCD上的投影是点A，所以PA⊥ABCD，
因为AB、，所以PA⊥AB，PA⊥BC，
因为△PAB≌△CBA，所以∠ABC=∠BAP=90°，AB⊥BC，
因为PA∩AB=A，
所以，BC⊥平面PAB，
所以，BC⊥PB，△PBC是直角三角形。
（2）解：连接BD，因为BC=CD，∠BCD=60°，所以△BCD是等边三角形，
在△ABD中，根据多边形内角和定理计算得∠ADB=90°，
又因为∠BAD=60°，所以，
所以，，，
所以，，
又，
所以，四棱锥P-ABCD的体积。