题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB₁，AA₁的中点。
（1）求证：平面B₁FC∥平面EAD；
（2）求证：BC₁⊥平面EAD。

答案

解：（1）由已知可得AF∥B₁E，AF=B₁E
∴四边形AFB₁E是平行四边形，
∴AE∥FB₁，
∵AE平面B₁FC，FB₁平面B₁FC，
∴AE∥平面B₁FC；
又D，E分别是BC，BB₁的中点，
∴DE∥B₁C，
∵ED平面B₁FC，B₁C平面B₁FC，
∴ED∥平面B₁FC
∵AE∩DE=E，AE平面EAD，ED平面EAD，
∴平面B₁FC∥平面EAD。
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴C₁C⊥面ABC，
又∵AD面ABC，
∴C₁C⊥AD，
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是BC边中点，
∴△ABC是正三角形，
∴BC⊥AD，
而C₁C∩BC=C，CC₁面BCC₁B₁，BC面BCC₁B₁，
∴AD⊥面BCC₁B₁，
故AD⊥BC₁
∵四边形BCC₁B₁是菱形，
∴BC₁⊥B₁C，
而DE∥B₁C，故DE⊥BC₁，
由AD∩DE=D，AD面EAD，ED面EAD，
得BC₁⊥面FAD。