题目

题型：北京期末题难度：来源：

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁、ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D为BC的中点，
(1)求证：A₁B∥平面ADC₁；
(2)求证：C₁A⊥B₁C。

答案

证明：(1)如图，连接A₁C，设A₁C交AC₁于点O，连接OD，
因为四边形ACC₁A₁为正方形，所以O为A₁C的中点，
又D为BC的中点，
所以OD为△A₁BC的中位线，
所以A₁B∥OD，
因为OD平面ADC₁，A₁B平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁。(2)由(1)可知，C₁A⊥CA₁，
因为侧面ABB₁A₁是正方形，AB⊥AA₁，且∠BAC=90°，
所以AB⊥平面ACC₁A₁，
又AB∥A₁B₁，
所以A₁B₁⊥平面ACC₁A₁，
又因为C₁A平面ACC₁A₁，所以A₁B₁⊥C₁A，
所以C₁A⊥平面A₁B₁C，
又B₁C平面A₁B₁C，
所以C₁A⊥B₁C。