题目

题型：安徽省高考真题难度：来源：

如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，E′和F′是平面ABCD内的两点，E′E和F′F都与平面ABCD垂直，
（Ⅰ）证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；
（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。

答案

(1)证明：由于EA=ED且ED′⊥面ABCD，
∴E′D=E′C，
∴点E′在线段AD的垂直平分线上，同理点F′在线段BC的垂直平分线上，
又ABCD是四方形，
∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，
即点E′F′都在线段AD的垂直平分线上，
所以，直线E′F′垂直平分线段AD。 (2)解：连接EB、EC，
由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E-ABCD
和正四面体E-BCF两部分，
设AD中点为M，在Rt△MEE′中，
由于ME′=1，，
∴，
∴V_E-ABCD，
又V_E-BCF=V_C-BEF=V_C-BEA=V_E-ABC
，
∴多面体ABCDEF的体积为V_E-ABCD+V_E-BCF=。