一个正三棱柱有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的六个顶点),则此内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比为1:______:______. |
设正三棱柱底面正三角形的边长为a,其内切球的半径为R 当球外切于正三棱柱时,球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离即R=a,到相对棱的距离是 a 又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍,故正三棱柱的高为 a, 球外接正三棱柱时,球的球心是正三棱柱高的中点,且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥,顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离 a,棱锥的高为 a 故正三棱锥外接球的半径满足 R22=(a)2+(a)2=a2, 三棱柱的表面积为:2×a2+3a× a=a2 ∴内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比4(πa2):(4πa2):a2=R2:R22=1:5:.
故答案为:5;. |
核心考点
试题【一个正三棱柱有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的六个顶点),则此内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比为1:】;主要考察你对
柱锥台的表面积等知识点的理解。
[详细]
举一反三
三棱锥P-ABC的侧棱PA、PB、PC两两互相垂直,侧面面积分别是6,4,3,则三棱锥的体积是______. |
在一个棱长为4的正方体封闭的盒内,有一个半径等于1的小球,若小球在盒内任意地运动,则小球达不到的空间的体积为______. |
长方体的长、宽、高之和为12,对角线长为8,则它的全面积为______. |
已知一个四棱锥的高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形,则此四棱锥的体积为( ) |
已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为6的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=8,则该四棱锥的体积是( ) |