题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形.

(1)当正视图方向与向量的方向相同时，画出三棱锥A—BCD的三视图;(要求标出尺寸)
(2)求二面角B—AC—D的余弦值;
(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与平面BCD成30°角？ 若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由.

答案

（1）详见解析；（2）；（3）存在且

解析

试题分析：(1)画三视图时要注意：正视图看到的是几何体的长和高，侧视图看到的是几何体的宽和高，俯视图看到的是几何体的长和宽,同时要想象自己身处教室，前面、右面、地面有墙，将几何体正投影到这三个方向；（2）建立适当的空间直角坐标系，需选择两两垂直的三条直线，然后把涉及到的点用坐标表示，如图所示建立坐标系，则，求出面和面的法向量，然后求法向量的夹角，进而求出二面角的余弦值；（3）利用空间直角坐标系求直线和平面所成的角，先求平面的法向量和直线方向向量夹角的余弦值，即直线和平面所成角的正弦值，该题利用三点共线，可设出点，然后计算和平面法向量，根据它们夹角余弦值等于列式，求.
试题解析：(1) 三棱锥A—BCD的三视图如右图所示：

(2)以为坐标原点，分别以和过点垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面ABC的法向量为，，则
且，∴，令则，则，同理，可求得平面ACD的一个法向量为，所以=.所以二面角B—AC—D的余弦值；

（3）设，由，得，面的一个法向量，，所以，解得，所以存在，即时，ED与平面BCD成30°角.