题目

题型：不详难度：来源：

四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.

（1）证明：四边形是矩形；
（2）求直线与平面夹角的正弦值.

答案

（1）证明见解析；（2）.

解析

试题分析：（1）由该四面体的三视图可知：，
由题设，∥面，面面，面面，所以∥，∥，所以∥，同理可得∥，即得四边形是平行四边形，同时可证，即证四边形是矩形；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，
，，，设平面的一个法向量因为∥,∥，所以，列出方程组，即可得到平面的一个法向量，与的夹角的余弦值的绝对值即为所求.
试题解析：（1）由该四面体的三视图可知：
，
由题设，∥面
面面
面面
∥，∥，  ∥.
同理∥，∥，  ∥.
四边形是平行四边形
又
平面
 
∥,∥

四边形是矩形
（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，
，，

设平面的一个法向量
∥,∥

即得，取