题目

题型：不详难度：来源：

正方体的棱线长为1，面对角线上有两个动点E，F，且，则下列四个结论中① ②平面 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线所成的角为定值，其中正确的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4

答案

C

解析

试题分析：①AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD₁B₁B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；
②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；
③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD₁B₁B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；
④异面直线AE、BF所成的角为定值，由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A₁AO，当E与D₁重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值．
综上知①②③正确，故选C。

点评：中档题，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．另外，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明也是解答本题的关键。