题目

题型：期末题难度：来源：

已知：（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ（n≥2，n∈N*）， 
（1）当n=5时，求a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅的值；
（2）设，T_n=b₂+b₃+b₄+…+b_n，试用数学归纳法证明：当n≥2时，
。

答案

解：（1）当n=5时，原等式变为（x+1）⁵=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+a₄（x-1）⁴+a₅（x-1）⁵，
令x=2 得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=3⁵=243。
（2）因为（x+1）ⁿ=[2+（x-1）]ⁿ，
所以，
，
①当n=2时，左边=T₂=b₂-2，
右边2，
左边=右边，等式成立；
②假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，等式成立，
即T_k，
那么，当n=k+1时，
左边

右边，
故当n=k+1时，等式成立；
综上①②，当n≥2时，。