题目

题型：不详难度：来源：

已知m，n∈N，m、n≥1，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展开式中，x的系数为9．求f（x）展开式中x²的系数的最小值．

答案

x的系数为C_m¹+C_n¹=9，即m+n=9．∴m=9-n…（4分）
（1）若m=1，n=8，或m=8，n=1时，f（x）=（1+x）+（1+x）⁸
此时，x²的系数为T=C₈²=28…（6分）
（2）若m≠1，且n≠8，或m≠8，且n≠1时x²的系数为T=C_m²+C_n²=n2-9n+36=(n-

9

2

)2+

63

4

．…（9分）
∵m，n∈N，m、n≥1，∴1≤n≤8，且n∈N
∴当n=4或5时，x²系数取得最小值，最小值为16…（12分）
综合（1）（2）得．当n=4或5时，x²系数取得最小值，最小值为16…（13分）