(1)求证：4×6n＋5n＋1－9是20的倍数(n∈N＋)；(2)今天是星期一，再过3100天是星期几？ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

(1)求证：4×6ⁿ＋5ⁿ^＋1－9是20的倍数(n∈N_＋)；
(2)今天是星期一，再过3¹⁰⁰天是星期几？

答案

(1)见解析 (2) 星期五

解析

(1)证明：4×6ⁿ＋5ⁿ^＋1－9＝4·(5＋1)ⁿ＋5·(4＋1)ⁿ－9
＝4(C_n⁰5ⁿ＋C_n¹5ⁿ^－1＋…＋C_n^n-15＋1)＋
5(C_n⁰4ⁿ＋C_n¹4ⁿ^－1＋…＋C_n^n-14＋1)－9
＝20[(C_n⁰5ⁿ^－1＋C_n¹5ⁿ^－2＋…＋C_n^n-1)＋(C_n⁰4ⁿ^－1＋C_n¹4ⁿ^－2＋…＋C_n^n-1)]，故结论成立．
(2)解：∵3¹⁰⁰＝9⁵⁰＝(7＋2)⁵⁰＝C₅₀⁰·7⁵⁰·2⁰＋C₅₀¹·7⁴⁹·2¹＋…＋C₅₀⁴⁹·7·2⁴⁹＋C₅₀⁵⁰·7⁰·2⁵⁰＝7M_n＋2⁵⁰(M_n∈N_＋)，
又2⁵⁰＝2^3×16^＋2＝4×8¹⁶＝4(1＋7)¹⁶＝4(C₁₆⁰＋7C₁₆¹＋7²C₁₆²＋…＋7¹⁶C₁₆¹⁶)＝4＋7N_n(N_n∈N_＋)，
∴3¹⁰⁰被7除余数是4，故再过3¹⁰⁰天是星期五．

核心考点

试题【(1)求证：4×6n＋5n＋1－9是20的倍数(n∈N＋)；(2)今天是星期一，再过3100天是星期几？】；主要考察你对二项式定理等知识点的理解。[详细]

举一反三

在