题目

题型：不详难度：来源：

已知(＋x²)²ⁿ的展开式的二项式系数和比(3x－1)ⁿ的展开式的二项式系数和大992，求(2x－)²ⁿ的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项．

答案

（1）第6项   （2）第4项

解析

由题意知，2²ⁿ－2ⁿ＝992，
即(2ⁿ－32)(2ⁿ＋31)＝0.
∴2ⁿ＝32，解得n＝5.
(1)由二项式系数的性质知，(2x－)¹⁰的展开式中第6项的二项式系数最大．
即T₆＝·(2x)⁵·(－)⁵＝－8064.
即二项式系数最大的项为第6项为－8064.
(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大．
∵T_r＋1＝·(2x)^10－r·(－)^r
＝(－1)^r·2^10－r·x^10－2r，
∴，得 
即
解得≤r≤.
∵r∈Z，∴r＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T₄＝－·2⁷·x⁴＝－15360x⁴.