题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
（本题满分14分）设函数＝，∈R
（1）若＝为的极值点，求实数；
（2）求实数的取值范围，使得对任意的（0,3]，恒有≤4成立.
注：为自然对数的底数。

答案

（1） 或；（2）.

解析

第一问利用导数在＝为的极值点，先求导，然后在x=e处的导数值为零得到a的值。
第二问中，要是对任意的（0,3]，恒有≤4成立，只需求解函数y=f(x)在给定区间（0,3]的最大值小于等于4即可。
解:(1)求导得f’(x)=2(x-a)lnx+=()(2ln x+1-).（2分）
因为x=e是f(x)的极值点，所以f’(e)= ，（3分）
解得 或，经检验，符合题意，所以 或。（4分）
（2）解:①当时，对于任意的实数a,恒有成立，（6分）
②当，由题意，首先有，
解得            （7分）
由（Ⅰ）知，，
则，，
且
=。              （8分）
又在（0，+∞）内单调递增，所以函数在（0，+∞）内有唯一零
点，记此零点为，则，。从而，当时，；
当时，；当时，，即在内
单调递增，在内单调递减，在内单调递增。    （10分）
所以要使对恒成立，只要
成立。
，知（3）
将（3）代入（1）得，                  （12分）
又，注意到函数在[1,+∞)内单调递增，故。
再由（3）以及函数2xlnx+x在（1.+ +∞)内单调递增，可得。
由（2）解得，。
所以
综上，a的取值范围为。               （14分）