题目
题型:不详难度:来源:
(1)求的解析式;
(2)是否存在自然数m,使得方程=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出所有m的值;若不存在,请说明理由.
答案
(2)存在唯一的自然数m=3,使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根.
解析
试题分析:(1)为求函数的解析式,可根据是二次函数,且的解集是(0,5),
设出应用“待定系数法”.
(2)首先注意到方程=0等价于方程,从而,可通过研究函数
达到解题目的.
具体地,通过“求导数、求驻点、讨论导数的正负、确定函数的单调区间”,认识方程的根分布情况.
试题解析:
(1)∵是二次函数,且的解集是(0,5),
∴可设.
∴在区间[-1,4]上的最大值是.
由已知,得 5分
(2)方程=0等价于方程
设
则. 7分
当x∈时,,因此在此区间上是减少的;
当x∈时,,因此是在此区间上是增加的.
∵h(3)=1>0,h=<0,h(4)=5>0, 10分
∴方程=0在区间,内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,+∞)内没有实数根,
∴存在唯一的自然数m=3,使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根. 12分
核心考点
试题【已知是二次函数,不等式的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.(1)求的解析式;(2)是否存在自然数m,使得方程=0在区间(m,m+1】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数的极大值与极小值;
(2)求函数的最大值与最小值.
A.2 | B.3 | C.4 | D.6 |
(1)求的最值;
(2)若关于方程有两个不同解,求的范围.
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