题目
题型:不详难度:来源:
(1)求的单调增区间;
(2)若,
(Ⅰ)证明:当时,的图象恒在的上方;
(Ⅱ)证明不等式恒成立.
答案
解析
试题分析:(1)先利用函数在处取得极值,由求出的值,进而求出的解析式,解不等式,从而得出函数的单调增区间;(2)(Ⅰ)构造新函数,利用导数证明不等式在区间上成立,从而说明当时,的图象恒在的上方;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的结论证明当时,,由此得到,,,,结合累加法得到,再进行放缩得到
,从而证明.
试题解析:(1),,函数的定义域为,
由于函数在处取得极值,则,
,
解不等式,得或,
故函数的单调增区间为和;
(2)(Ⅰ)构造函数,其中,
,故函数在区间上单调递减,
则对任意,则,即,即,
即当时,的图象恒在的上方;
(Ⅱ)先证当时,,由(Ⅰ)知,当且时,,
故有,
由于,,,,
上述个不等式相加得,即,
即,由于,
上述不等式两边同时乘以得.
核心考点
举一反三
(1)若函数满足,且在定义域内恒成立,求实数b的取值范围;
(2)若函数在定义域上是单调函数,求实数的取值范围;
(3)当时,试比较与的大小.
⑴求函数的单调区间;
⑵如果对于任意的,总成立,求实数的取值范围.
(1)求的单调区间;
⑵如果是曲线上的任意一点,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;
⑶讨论关于的方程的实根情况.
(I)求的单调区间和极大值
(II)证明对任意不等式恒成立.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对于任意的,若函数在 区间上有最值,求实数的取值范围.
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