题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝ (a∈R)．
(1)求f(x)的极值；
(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)＝1的图象在区间(0，e²]上有公共点，求实数a的取值范围．

答案

（1）f(x)在x＝e^1－a处取得极大值，f(x)_极大值＝f(e^1－a)＝e^a－1，无极小值
（2）[1，＋∞)

解析

(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
令f′(x)＝0得x＝e^1－a，
当x∈(0，e^1－a)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈(e^1－a，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
∴f(x)在x＝e^1－a处取得极大值，f(x)_极大值＝f(e^1－a)＝e^a－1，无极小值．
(2)①当e^1－a<e²时，即a>－1时，
由(1)知f (x)在(0，e^1－a)上是增函数，在(e^1－a，e²]上是减函数，
∴f(x)_max＝f(e^1－a)＝e^a－1，
又当x＝e^－a时，f(x)＝0，
当x∈(0，e^－a]时，f(x)<0；当x∈(e^－a，e²]时，f(x)>0；
∵f(x)的图象与g(x)＝1的图象在(0，e²]上有公共点，
∴e^a－1≥1，解得a≥1，又a>－1，所以a≥1.
②当e^1－a≥e²时，即a≤－1时，f(x)在(0，e²]上是增函数，
∴f(x)在(0，e²]上的最大值为f(e²)＝，
所以原问题等价于≥1，解得a≥e²－2.
又a≤－1，所以此时a无解．
综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)．