题目

题型：0112 期末题难度：来源：

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）。
（1）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求a、b的值；
（2）若x∈[-1，1]，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，求k≥-1恒成立时a的取值范围。

答案

解：（1）由得x=0或x=2a/3
故2a/3=4，a=6
由于当x<0时，，当x>0时
故当x=0时，f（x）达到极小值f（0）=b，所以b=-1；
（2）等价于当x∈[0，1]时，-3x²+2ax≥-1恒成立，即g（x）=3x²-2ax-1≤0对一切x∈[0，1]恒成立
即g（x）的最大值不大于零，由g（x）的图象知其最大值是端点值。由于g（0）=-1≤0，故只需g（1）=2-2a≤0，即a≥1
反之，当a≥1时，g（x）≤0对一切x∈[0，1]恒成立
所以a≥1。