题目

题型：海南省高考真题难度：来源：

设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明：函数y=f（x）的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

答案

（Ⅰ）解：，
于是，
因a，b∈Z，
故；
（Ⅱ）证明：已知函数都是奇函数，
所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形，
而，
可知，函数g（x）的图像按向量平移，即得到函数f（x）的图像，
故函数f（x）的图像是以点（1，1）为中心的中心对称图形；
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点，
由知，
过此点的切线方程为，
令x=1得，切线与直线x=1交点为；
令y=x得，切线与直线y=x交点为；
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1），
从而所围三角形的面积为；
所以，所围三角形的面积为定值2。