题目

题型：同步题难度：来源：

已知抛物线C₁：y=x²+2x和C：y=-x²+a，如果直线l同时是C₁和C₂的切线，称l是C₁和C₂的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
（1）a取什么值时，C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（2）若C₁和C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。

答案

解：（1）函数y=x²+2x的导数y′=2x+2，
曲线C₁在点P（x₁，x²₁+2x₁）的切线方程是：y-（x₁²+2x₁）=（2x₁+2）（x-x₁），
即y=（2x₁+2）x-x₁² ①
函数y=-x²+a的导数y′=-2x，
曲线C₂在点Q（x₂，-x²₂+a）的切线方程是y-（-x₂²+a）=-2x₂（x-x₂）
即y=-2x₂x+x²₂+a  ②
如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，
所以x₁+1=-x₂，-x₁²=x₂²+a
消去x₂得方程2x₁²+2x₂+1+a=0
若判别式△=4-4×2（1+a）=0时，
即a=-时，解得x₁=-，
此时点P与Q重合，
即当a=-时C₁和C₂有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为y=x-。
（2）由（1）可知，当a＜-时C₁和C₂有两条公切线
设一条公切线上切点为：P（x₁，y₁）， Q（x₂ ，y₂）
其中P在C₁上，Q在C₂上，
则有x₁+x₂=-1，y₁+y₂=x₁²+2x₁+（-x²₂+a）=x²₁+2x₁-（x₁+1）²+a=-1+a，
线段PQ的中点为
同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分。