题目
题型:不详难度:来源:
(1)若对任意的恒成立,求实数的最小值.
(2)若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;
(3)设各项为正的数列满足:求证:
答案
解析
试题分析:(I)依题意,对任意的恒成立,即在x1恒成立.则a.
而0,所以,在是减函数,最大值为1,所以,,实数的最小值。
(II)因为,且在上恰有两个不相等的实数根,
即在上恰有两个不相等的实数根,
设g(x)=,则g"(x)=
列表:
X | (0,) | (,2) | 2 | (2,4) | |
+ | 0 | - | 0 | + | |
增函数 | 极大值 | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
因为,方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
则,解得.
(III)设h(x)=lnx-x+1,x∈[1,+∞),则h"(x)=-1≤0
∴h(x)在[1,+∞)为减函数,且h(x)max=h(1)=0,故当x≥1时有lnx≤x-1.
∵a1=1,假设ak≥1(k∈N*),则ak+1=lnak+ak+2>1,故an≥1(n∈N*)
从而an+1=lnan+an+2≤2an+1∴1+an+1≤2(1+an)≤…≤2n(1+a1)
即1+an≤2n,∴an≤2n-1
点评:难题,不等式恒成立问题,常常转化成求函数的最值问题。(II)(III)两小题,均是通过构造函数,研究函数的单调性、极值(最值),认识函数图象的变化形态等,寻求得到解题途径。有一定技巧性,对学生要求较高。
核心考点
试题【已知函数(1)若对任意的恒成立,求实数的最小值.(2)若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;(3)设各项为正的数列满足:求证:】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. |
C.为常数函数 | D.为常数函数 |
则的大小关系是
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ) 若存在实数,使得成立,求实数的取值范围.
A.3 | B.2 | C.1 | D. |
A.f(0)+f(2)<2f(1) | B.f(0)+f(2)³2f(1) |
C.f(0)+f(2)>2f(1) | D.f(0)+f(2)³2f(1) |
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