题目

题型：不详难度：来源：

（Ⅰ）已知x＞0，y＞0，x+2y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值．
（Ⅱ）已知a，b∈（0，+∞），求证：

2ab

a+b

≤

ab

．

答案

（I）∵x＞0，y＞0，且x+y=1，

1

x

+

1

y

=（x+y）（

1

x

+

1

y

）=3+

x

y

+

2y

x

≥3+2

x y • 2y x

=3+2

2

当且仅当

x

y

=

2y

x

时取等号．
则

1

x

+

1

y

的最小值3+2

2

．
（II）要证：

2ab

a+b

≤

ab

，只须证

2 ab

a+b

≤1，也只要证a+b≥2

ab

，
根据基本不等式，而+b≥2

ab

显然成立，
故

2ab

a+b

≤

ab

成立．