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题目
题型:不详难度:来源:
已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,且对于任意n∈N+都有nan+1=2Sn
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
4an+1
an2an+22
,且数列{bn}的前n项之和为Tn,求证:Tn
5
4
答案
(Ⅰ)解法一:由nan+1=2Sn
得当n≥2时,(n-1)an=2Sn-1②,
由①-②可得,nan+1-(n-1)an=2(Sn-Sn-1)=2an
所以nan+1=(n+1)an
即当n≥2时,
an+1
an
=
n+1
n

所以
a3
a2
=
3
2
a4
a3
=
4
3
a5
a4
=
5
4
,…,
an
an-1
=
n
n-1

将上面各式两边分别相乘得,
an
a2
=
n
2

an=
n
2
a2
(n≥3),
又a2=2S1=2a1=2,所以an=n(n≥3),
此结果也满足a1,a2
故an=n对任意n∈N+都成立.…(7分)
解法二:由nan+1=2Sn及an+1=Sn+1-Sn
得nSn+1=(n+2)Sn
Sn+1
Sn
=
n+2
n

∴当n≥2时,Sn=S1
S2
S1
S3
S2
•…•
Sn
Sn-1
=1×
3
1
×
4
2
×
5
3
×…×
n+1
n-1
=
n(n+1)
2
(此式也适合S1),
∴对任意正整数n均有Sn=
n(n+1)
2

∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(此式也适合a1),
故an=n.…(7分)
(Ⅱ)依题意可得bn=
4an+1
an2an+22
=
4n+4
n2(n+2)2
=
1
n2
-
1
(n+2)2

Tn=
1
12
-
1
32
+
1
22
-
1
42
+
1
32
-
1
52
+…+
1
n2
-
1
(n+2)2
=1+
1
4
-
1
(n+1)2
-
1
(n+2)2
=
5
4
-
(n+1)2+(n+2)2
(n+1)2(n+2)2
5
4

Tn
5
4
.…(13分)
核心考点
试题【已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,且对于任意n∈N+都有nan+1=2Sn.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=4an+1an2an+22,】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知有两个数列{an},{bn},它们的前n项和分别记为Sn,Tn,且数列{an}是各项均为正数的等比数列,Sm=26,前m项中数值最大的项的值为18,S2m=728,又Tn=2n2
(I)求数列{an},{bn}的通项公式.
(II)若数列{cn}满足cn=bnan,求数列{cn}的前n项和Pn
题型:河东区二模难度:| 查看答案
M=
1
210
+
1
210+1
+
1
210+2
+…+
1
211-1
,则(  )
A.M=1B.M<1
C.M>1D.M与1的大小关系不确定
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}满足an+1=a1-an-1(n≥2),a1=a,a2=b,设Sn=a1+a2+…+an,则下列结论正确的是(  )
A.a100=a-b,S100=50(a-b)B.a100=a-b,S100=50a
C.a100=-b,S100=50aD.a100=-a,S100=b-a
题型:襄阳模拟难度:| 查看答案
i表示虚数单位,则i1+i2+i3+…+i2012的值是______.
题型:不详难度:| 查看答案
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=48,a2+a5=20.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(17-an)•2n-1,求数列{bn}的前n项和Tn
题型:不详难度:| 查看答案
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