题目

题型：不详难度：来源：

一弹性小球自h₀=5 m高处自由下落，当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的

7

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，不计每次碰撞时间，计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间．

答案

设小球第一次落地时速度为v₀，则有v₀=

2gh0

=10（m/s），
那么第二，第三，，第n+1次落地速度分别为v₁=

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v₀，v₂=（

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）²v₀，，v_n=（

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）ⁿv₀，
小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h₀=5m，
小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L₁=2×

v1 2

2g

=10×（

7

9

)2．
小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L₂，则L₂=2×

v22

2g

=10×（

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）⁴．
由数学归纳法可知，小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程为L_n=10×（

7

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）²ⁿ．
故从第一次到第n+1次所经过的路程为
S_n+1=h₀+L₁+L₂++L_n，则整个过程总路程为
S=

lim

n→∞

S_n+1=5+

lim

n→∞

10×

( 7 9 )2[1-( 7 9 )2n]

1-( 7 9 )2

=5+10

( 7 9 )2

1-( 7 9 )2

=20.3（m），
小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t₀=

2h0 g0

=1（s）．
小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t₁=2×

v1

g

=2×

7

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，
同理可得t_n=2×（

7

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）ⁿ，t_n+1=t₀+t₁+t₂++t_n，
则t=

lim

n→∞

t_n+1=1+

lim

n→∞

2×

( 7 9 )[1-( 7 9 )n]

1-( 7 9 )

=8（s）．