题目

题型：不详难度：来源：

已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数．
（1）用表示；
（2）,若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和，记数列的前项和，求．

答案

（1）；（2）证明见解析，；（3） ．

解析

试题分析：（1）直接利用导数得出切线斜率，写出点处切线方程，在切线方程中令，就可求出切线与轴交点的横坐标即；（2）要证明数列为等比数列，关键是找到与的关系，按题设，它们由联系起来，，把用（1）中的结论代换，变为的式子，它应该与是有联系的，由此就可得出结论；（3）按照要求，首先求出数列的通项公式，当然要利用（），直接等于，数列实际上是一个等差数列，那么数列就是由一个等差数列和一个等比数列的对应项相乘得到的新数列，其前项的求法是乘公比错位相减法，即，记等比数列的公比是，则有
，两式相减，即，这个和是容易求得的．
试题解析：（1）由题可得，所以在曲线上点处的切线方程为，即
令，得，即
由题意得，所以      5′
（2）因为，所以
即，
所以数列为等比数列故    10′
（3）当时，，当时，
所以数列的通项公式为，故数列的通项公式为
  ①
①的  ②
①②得
故       16′