题目

题型：不详难度：来源：

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＞0，b＞0）的周期为π，f(

π

4

)=

3

，且f（x）的最大值为2．
（1）写出f（x）的表达式；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间、对称中心、对称轴方程；
（3）说明f（x）的图象如何由函数y=2sinx的图象经过怎样的变换得到．

答案

（1）f（x）=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin（ωx+∅），其中φ为辅助角，且tanφ=

b

a

，
∴T=

2π

w

=π，∴ω=2
∵f(

π

4

)=

3

，∴asin

π

2

+bcos

π

2

=

3

，即a=

3

∵f（x）的最大值为2，∴

a2+b2

=2，解得，b=1
∴f(x)=

3

sin2x+cos2x
（2）由（1）得，f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
令-

π

2

+2kπ ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴函数的单调递增区间[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
令2x+

π

6

=kπ，k∈Z，解得，x=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z
∴函数的对称中心为(

kπ

2

-

π

12

，0)，k∈Z；
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得，x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z
对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z
（3）f(x)=

3

sin2x+cos2x的图象可先由函数y=2sinx的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数y=2sin(x+

π

6

)的图象，再将y=2sin(x+

π

6

)图象的横坐标缩小到原来的

1

2

，即得f(x)=

3

sin2x+cos2x的图象．