题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(Ⅰ)求φ;
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单增区间;
(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图像不相切.
答案
(Ⅱ)单调增区间为[kπ+ kπ+π],k∈Z,
(Ⅲ)见解析
解析
【错解分析】由对称轴是x=,可知2×+φ使f(x)取最值,即+φ=kπ+.(k∈Z),从而可求φ;由sinx的单增区间可求f(x)=sin(2x+φ)的单增区间.由|f′(x)|=|2cos(2x+φ)|≤2,直线5x-2y+c=0的斜率为>2说明直线和f(x)的图象不能相切.
【正解】(Ⅰ)解法1:因为x=是函数y=f(x)的图像的对称轴,
所以sin(2·+φ)=±1, 则有+φ=kπ+,k∈Z.
因为-π<φ<0, 所以φ=-
解法2:函数y="sin" 2x图像的对称轴为x=+,k∈Z.
y=sin(2x+φ)的图像由y="sin" 2x的图像向左平移得到,
所以有+-= k∈Z.
∵-π<φ<0,∴φ=.
解法3:因为x=是函数y=f(x)的图像的对称轴. 所以f(-x)=f(+x).
即sin[2(-x)+φ]=sin[2(+x)+φ],
于是有2(-x)+φ=2kπ+2(+x)+φ(舍去),
或[2(-x)+φ]+[2(+x)+φ]=2kπ+π.
因为-π<φ<0,∴φ=
(Ⅱ)解法1:由(Ⅰ)知φ=-π,因此y=sin(2x-π),
由题意得2kπ-≤2x-π≤2kπ+,(k∈Z),
所以函数y=sin(2x-π)的单调增区间为[kπ+ kπ+π],k∈Z,
解法2:由y′=2cos(2x-π)≥0可得,2kπ-≤2x-π≤2kπ+ k∈Z,
所以函数y=sin(2x-π)的单调增区间为[kπ+,kπ+π] k∈Z,
(Ⅲ)解法1:因为|y′|=|[sin(2x-π)]′|=|2cos(2x-π)|≤2,
所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为[-2,2],而直线5x-2y+c=0的斜率>2,
所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-π)的图象不相切.
解法2:令F(x)=sin(2x-π)-,
则F′(x)=2cos(2x-π)-,
∵-1≤cos(2x-π)≤1,F′(x)≠0.
则直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-π)的图像不相切.
【点评】本题第(Ⅰ)(Ⅱ)问是三角函数中最基本的问题,第(Ⅲ)问是考查一般函数在某点导数的几何意义,涉及的都是一些基本的概念,也是每个同学应该掌握的.
核心考点
试题【设函数f(x)=sin(2x+φ),(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=(Ⅰ)求φ;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单增区间;(Ⅲ)证】;主要考察你对正弦函数的图象与性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B.π | C.2π | D.4π |
A. | B. |
C. | D. |
A.在上递减偶函数 | B.在(0,1)上递减偶函数 |
C.在上递增奇函数 | D.在(0, 1)上递增偶函数 |
A. | B. |
C. | D. |
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