题目

题型：花都区模拟难度：来源：

已知函数f（x）=sin

x

2

+

3

cos

x

2

（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）令g（x）=f（x+

π

3

），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

答案

（1）由f（x）=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2（

1

2

sin

x

2

+

3

2

cos

x

2

）=2sin(

x

2

+

π

3

)（3分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π．（5分）
当sin(

x

2

+ 

π

3

)=-1时，f（x）取得最小值-2；
当sin(

x

2

+ 

π

3

)=1时，f（x）取得最大值2．（7分）
（2）由（1）知f（x）=2sin（

x

2

+

π

3

）．又g（x）=f（x+

π

3

），．
∴g（x）=2sin[

1

2

(x+

π

3

)+

π

3

]=2sin(x+

π

2

)=2cos

x

2

．（9分）
所以g（-x）=2cos(-

x

2

)=cos

x

2

=g（x）．（11分）
∴函数g（x）是偶函数．（12分）