题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=2sinxcos(x+

π

3

)+

3

cos2x+

1

2

sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；   
（2）求函数f（x）的最大值与最小值；
（3）写出函数f（x）的单调递增区间．

答案

f(x)=2sinxcos(x+

π

3

)+

3

cos2x+

1

2

sin2x
=2sinx（cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

）+

3

cos²x+

1

2

sin2x
=sinxcosx-

3

sin²x+

3

cos²x+

1

2

sin2x
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），
（1）因为T=

2π

2

=π，所以f（x）的最小正周期为π；
（2）由-1≤sin（2x+

π

3

）≤1，得到-2≤f（x）≤2，
则函数f（x）的最大值为2，最小值为-2；
（3）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，
解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
则f（x）的单调递增区间为：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]．