题目

题型：解答题难度：一般来源：宣武区一模

已知：

a

=（2cosx，sinx），

b

=（

3

cosx，2cosx）．设函数f（x）=

a

•

b

-

3

．（x∈R）求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的单调递增区间；
（3）若f(

α

2

-

π

6

)-f(

α

2

+

π

12

)=

6

，且α∈(

π

2

，π)，求θ

答案

f(x)=a•b-

3

=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

=sin2x+

3

(2cos2x-1)
=sin2x+

3

cos2x
=2sin(2x+

π

3

)

（1）函数f（x）的最小正周期最小正周期为T=

2π

2

=π
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

得2kπ-

5π

6

≤2x≤2kπ+

π

6

∴kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，(k∈Z)
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，（k∈Z）
（3）∵f(

α

2

-

π

6

)-f(

α

2

+

π

12

)=

6

，∴2sinα-2cosα=

6

∴2

2

sin(α-

π

4

)=

6

，∴sin(α-

π

4

)=

3

2

∵α∈(

π

2

，π)，∴α-

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

，
∴α-

π

4

=

π

3

或

2π

3

，∴α=

7π

12

或

11π

12

（13分）