题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)若函数在上是减函数,求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,当(是自然常数)时,函数的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(3)当时,证明:.
答案
解析
试题分析:(1)先对函数进行求导,根据函数h(x)在[2,3]上是减函数,可得到其导函数在[2,3]上小于等于0应该恒成立,再结合二次函数的性质可求得a的范围;(2)先假设存在,然后对函数g(x)进行求导,再对a的值分情况讨论函数g(x)在(0,e]上的单调性和最小值取得,可知当a=e2能够保证当x∈(0,e]时g(x)有最小值3;(3)结合(2)知的最小值为3,只须证明即可,令,则在上单调递增,∴的最大值为 故,即得证.
解:(1)令,则,
(1分))∵在上是减函数,
∴在上恒成立,即在上恒成立 (2分)
而在上是减函数,∴的最小值为
(4分)
(2)假设存在实数,使有最小值是3,∵,
若,则,∴在上为减函数,的最小值为
∴与矛盾, (5分)
若时,令,则
当,即,在上单调递减,在上单调递增
,解得 (7分)
当,即时,在上单调递减
∴与矛盾, (9分)
(3)∵,由整理得, (10分)
而由(2)知的最小值为3,只须证明即可 (11分))
令,则在上单调递增,
∴的最大值为(12分)
故,即 (14分)
(接11分处另解, 即证,即证,
令,则,求得从而得证).
核心考点
试题【已知函数,(1)若函数在上是减函数,求实数的取值范围;(2)是否存在实数,当(是自然常数)时,函数的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由;(3)当时】;主要考察你对对数函数的定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.2 | B.-1 | C.0 | D.1 |
A. | B. | C. | D. |
A.(0,2) | B.(2,3) | C.(e,4) | D.(3, 8) |
A.﹣5 | B.﹣1 | C.3 | D.4 |
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