题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

设函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(x)≠0，对于任意x₁、x₂∈R，都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂).
(1)求证：f(x₁-x₂)=；
(2)若f(1)=2，解不等式f(3x)>4f(x).

答案

(1)见解析
(2)不等式f(3x)>4f(x)的解集是{x|x>1}.

解析

(1)∵f(x₁)=f(x₁-x₂+x₂)=f(x₁-x₂)·f(x₂)，
又f(x)≠0，
∴f(x₁-x₂)=.
(2)∵f(1)=2，∴2f(x)=f(1)·f(x)=f(1+x)，
4f(x)=2·2f(x)=f(1)·f(1+x)=f(2+x).
那么f(3x)>4f(x)可化为f(3x)>f(2+x).
又∵函数f(x)是定义在R上的增函数，
由f(3x)>f(2+x)，得3x>2+x，即x>1.
故不等式f(3x)>4f(x)的解集是{x|x>1}.