题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

(本小题满分13分)
定义F(x，y)＝(1＋x)^y，其中x，y∈(0，＋∞).
(1)令函数f(x)＝F(1，log₂(x³＋ax²＋bx＋1))，其图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x₀(－4<x₀<－1)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；
(2)令函数g(x)＝F(1，log₂[(lnx－1)e^x＋x])，是否存在实数x₀∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由.
(3)当x，y∈N^，且x<y时，求证：F(x，y)>F(y，x).

答案

（1）a<10.
（2）略
（3）略

解析

解：(1)f(x)＝F(1，log₂(x³＋ax²＋bx＋1))＝x³＋ax²＋bx＋1，设曲线C在x₀(－4<x₀<－1)处有斜率为－8的切线，
又由题设知log₂(x³＋ax²＋bx＋1)>0，f′(x)＝3x²＋2ax＋b，
3x²₀+2ax₀+b="-8 " ①
∴存在实数b使得  -4<x₀<-1      ② 有解，(3分)
x³₀+ax²₀+bx₀>0 ③
由①得b＝－8－3x－2ax₀，代入③得－2x－ax₀－8<0，
∴由   2x²₀+ax₀+8>0 有解，
-4< x₀<-1
得2×(－4)²＋a×(－4)＋8>0或2×(－1)²＋a×(－1)＋8>0，
∴a<10或a<10，∴a<10.(5分)
(2)∵g(x)＝(lnx－1)e^x＋x，
∴g′(x)＝(lnx－1)′e^x＋(lnx－1)(e^x)′＋1＝＋(lnx－1)e^x＋1＝(＋lnx－1)e^x＋1.(6分)
设h(x)＝＋lnx－1.则h′(x)＝－＋＝，
当x∈[1，e]时，h′(x)≥0.
h(x)为增函数，因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，即＋lnx－1≥0.
当x₀∈[1，e]时，ex₀>0，＋lnx₀－1≥0，
∴g′(x₀)＝(＋lnx₀－1)ex₀＋1≥1>0.(8分)
曲线y＝g(x)在点x＝x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x₀)＝0有实数解.
而g′(x₀)>0，即方程g′(x₀)＝0无实数解.
故不存在实数x₀∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x₀处的切线与y轴垂直.(9分)