题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)设,证明:对任意,.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+),
当a≥0时,>0,故f(x)在(0,+)单调增加;
当a≤-1时,<0, 故f(x)在(0,+)单调减少;
当-1<a<0时,令=0,解得x=.当x∈(0, )时, >0;
x∈(,+)时,<0, 故f(x)在(0, )单调增加,在(,+)单调减少
(Ⅱ)不妨设x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+)单调减少.
所以等价于≥4x1-4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则+4=.
于是≤=≤0.
从而g(x)在(0,+)单调减少,故g(x1) ≤g(x2),即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,
故对任意x1,x2∈(0,+) ,.
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题,考查分类讨论思想,考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,属难题.
核心考点
举一反三
(1)判断函数在上的单调;
(2)若在上的值域是,求的值.
(2)已知且,求的值.
(1)若,求的范围; (2)不等式对任意恒成立,求实数的取值范围。
(i)(ii)对任意
那么称这两个集合“保序同构”,现给出以下3对集合:
①
②
③
其中,“保序同构”的集合对的序号是_______.(写出“保序同构”的集合对的序号).
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