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题目
题型:解答题难度:一般来源:广东模拟
已知函数f(x)=ex-k-x,(x∈R).
(1)当k=0时,若函数g(x)=
1
f(x)+m
的定义域是R,求实数m的取值范围;
(2)试判断当k>1时,函数f(x)在(k,2k)内是否存在零点.
答案
(1)当k=0时,f(x)=ex-x,f′(x)=ex-1
∴f(x)在(-∞,0)上单调减,在[0,+∞)上单调增.
∴f(x)min=f(0)=1,(5分)∵∀x∈R,f(x)≥1⇔f(x)-1≥0成立,∴m>-1(17分)
(2)当k>1时,f′(x)=ex-k-1>0,在(k,2k)上恒成立.(9分)
∴f(x)在(k,2k)上单调增.(且连续)
且f(k)=ek-k-k=1-k<0,(10分)
f(2k)=e2k-k-2k=ek-2k∵f′(2k)=ek-2>0,f(x)在k>1时单调增,
∴f(2k)>e-2>0(13分)
∴由零点存在定理知,函数f(x)在(k,2k)内存在零点.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex-k-x,(x∈R).(1)当k=0时,若函数g(x)=1f(x)+m的定义域是R,求实数m的取值范围;(2)试判断当k>1时,函数f(x】;主要考察你对函数的零点存在定理等知识点的理解。[详细]
举一反三
根据表格中的数据,若函数f(x)=lnx-x+2在区间(k,k+1)(k∈N*)内有一个零点,则k的值为______.
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函数f(x)=x2-2x+a在区间(-2,0)和(2,3)内各有一个零点,则实数a的取值范围是______.
方程2x+x-4=0的实数根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=______.
已知函数f(x)=(x2-mx+m)•ex(m∈R).
(Ⅰ)若函数f(x)存在零点,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)当m<0时,求函数f(x)的单调区间;并确定此时f(x)是否存在最小值,如果存在,求出最小值,如果不存在,请说明理由.
已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0有2个不等实根x1,x2,且0<x1<1<x2<2,则实数k的取值范围是______.