题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=x²-2|x|-3（-3≤x≤3），
（1）证明函数f（x）是偶函数；
（2）用分段函数表示f（x）并作出其图象；
（3）指出函数f（x）的单调区间及相应的单调性；
（4）求函数的值域．

答案

（1）∵-3≤x≤3，
∴函数的定义域关于原点对称，
又∵f（-x）=（-x）²-2|-x|-3=x²-2|x|-3=f（x）
∴函数f（x）是偶函数．
（2）f（x）=

x2-2x-3，0≤x≤3 x2+2x-3，-3≤x＜0

；
（3）由（2）中图象可得：
函数f（x）的单调增区间是[-1，0]，[1，3]；
函数f（x）的单调减区间是[-3，-1]，[0，1]．
（4）由（2）中图象可得：
函数的值域是[-4，0]．