题目

题型：解答题难度：一般来源：江苏同步题

设二次函数f（x）=ax²+bx+c在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．

答案

解：（1）由f（0）=2可知c=2，
又A={1，2}，
故1，2是方程ax²+（b﹣1）x+c=0的两实根．
∴，
解得a=1，b=﹣2
∴f（x）=x²﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
因为x∈[﹣2，2]，根据函数图象可知，
当x=1时，f（x）_min=f（1）=1，即m=1；
当x=﹣2时，f（x）_max=f（﹣2）=10，即M=10．
（2）由题意知，方程ax²+（b﹣1）x+c=0有两相等实根x₁=x₂=1，
根据韦达定理得到：
，即，
∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1﹣2a）x+a，x∈[﹣2，2]
其对称轴方程为x==1﹣
又a≥1，故1﹣
∴M=f（﹣2）=9a﹣2m=则
g（a）=M+m=9a﹣﹣1
又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，
∴当a=1时，g（a）_min=