已知定义在实数集上的函数fn（x）=xn，n∈N*，其导函数记为f"n（x），且满足：f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+1λ(ξ2-ξ1) - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义在实数集上的函数f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其导函数记为f"_n（x），且满足：f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+

(ξ2-ξ1)]（ξ₁≠ξ₂），λ，ξ₁，ξ₂为常数．
（Ⅰ）试求λ的值；
（Ⅱ）设函数f_2n-1（x）与f_n（1-x）的乘积为函数F（x），求F（x）的极大值与极小值；
（Ⅲ）试讨论关于x的方程

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

λn-1

λn+1-1

在区间（0，1）上的实数根的个数．

答案

（Ⅰ）f₂（x）=x²，则f₂′（x）=2x，
∴ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+

(ξ2-ξ1)]，又ξ₁≠ξ₂，
∴ξ2+ξ1=2ξ1+

(ξ2-ξ1)⇒λ=2．…（4分）
（Ⅱ）令y=F（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=（1-x）ⁿ•x^2n-1，
则y"=-n（1-x）^n-1•x^2n-1+（2n-1）x^2n-2•（1-x）ⁿ=x^2n-2•（1-x）^n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，…（3分）
令y"=0，得x1=0，x 2=

2n-1

3n-1

，x3=1，且x₁＜x₂＜x₃，
当n为正偶数时，随x的变化，y"与y的变化如下：

解析

核心考点

试题【已知定义在实数集上的函数fn（x）=xn，n∈N*，其导函数记为f"n（x），且满足：f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+1λ(ξ2-ξ1)】；主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]

举一反三

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（-∞，0）

(0，

2n-1

3n-1

)

2n-1

3n-1

(

2n-1

3n-1

，1)

（1，+∞）

极大值

极小值

（-∞，0）

(0，

2n-1

3n-1

)

2n-1

3n-1

(

2n-1

3n-1

，1)

（1，+∞）

极大值

设a，b∈（0，1），则关于x的方程x²+2ax+b=0在（-∞，∞）上有两个不同的零点的概率为______．

函数f（x）=x²-2x+3的零点的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

若函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为______．

函数f（x）=x-2^-π的零点个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

关于x的方程x²+mx+n=0（m，n∈R）的一个根是-3+2i，则m=______．