题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

（本小题满分14分）
已知函数对于任意（），都有式子成立（其中为常数）．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）利用函数构造一个数列，方法如下：
对于给定的定义域中的，令，，…，，…
在上述构造过程中，如果（=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.
（ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求的取值范围；
（ⅱ）是否存在一个实数，使得取定义域中的任一值作为，都可用上述方法构造出一个无穷数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ⅲ）当时，若，求数列的通项公式．

答案

解析

解：（Ⅰ）令（），则，而，
故=，
∴ =（）．        ………………………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意，只需当时，方程有解，   ………………4分
亦即方程 有不等于的解．
将代入方程左边，左边为1，与右边不相等．故方程不可能有解．
………………5分
由 △=，得 或，
即实数a的取值范围是．      …………………………7分
（ⅱ）假设存在一个实数，使得取定义域中的任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，那么根据题意可知，=在R中无解，
……………8分
亦即当时，方程无实数解．
由于不是方程的解，
所以对于任意x∈R，方程无实数解，
因此解得．
∴ 即为所求的值．        ……………………………………11分
（ⅲ）当时，，所以，．
两边取倒数，得，即．
所以数列{}是首项为，公差的等差数列．
故，所以，，
即数列的通项公式为． ……………………………………14分