题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.

答案

见解析

解析

本试题主要考查了二次方程根的问题的综合运用。运用反证法思想进行证明。
先反设，然后推理论证，最后退出矛盾。证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0
相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，
（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0.显然不成立。
证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0.
相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，
（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0.                                     ①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.