题目

题型：解答题难度：一般来源：安徽省期末题

已知函数的图象关于原点成中心对称，试判断在区间[﹣4，4]上的单调性，并证明你的结论．

答案

解：f（x）在[﹣4，4]上是单调递减函数．
证明如下：函数f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）是奇函数，
即f（﹣x）=﹣f（x）对于任意x的成立，
则有a（﹣x）³+（a﹣1）（﹣x）²+48（a﹣2）（﹣x）x+b
=﹣[ax³+（a﹣1）x²+48（a﹣2）x+b]
必有a﹣1=0，b=0，即a=1，b=0，
于是f（x）=x³﹣48x．
∴ ，
∴当 ，
所以f（x）在[﹣4，4]上是单调递减函数．