题目

题型：解答题难度：一般来源：0110 期中题

已知定义域为R的函数是奇函数。
（1）求a、b的值；
（2）判断并证明f(x)的单调性；
（3）若对任意的x∈R，不等式f(x²-x)+f(2x²-t)＜0恒成立，求t的取值范围。

答案

解：（1）∵f(x)是奇函数且0∈R，∴f(0)=0，即，∴b=1，
∴，
又由f(1)=-f(-1)知，，∴a=2，
∴。
（2）f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，
证明如下：设x₁，x₂∈(-∞，+∞)且x₁＜x₂，则

，
∵y=2^x在(-∞，+∞)上为增函数且x₁＜x₂，∴且y=2^x＞0恒成立，
∴，
∴f(x₁)-f(x₂)＞0，
∴f(x)在(-∞，+∞)上为减函数。
（3）∵f(x)是奇函数，
∴f(x²-x)+f(2x²-t)＜0等价于f(x²-x)＜-f(2x²-t)=f(-2x²+t)，
又∵f(x)是减函数，
∴x²-x＞-2x²+t，即一切x∈R，3x²-x-t＞0恒成立，
∴判别式△=1+12t＜0，即t＜。