题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

x+1-a

a-x

(x∈R，x≠a)，
（Ⅰ）求f（x）+f（2a-x）的值；
（Ⅱ）判断f（x）在区间（a，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）当f（x）的定义域是[a+

1

2

，a+1]时，求函数f（x）的值域．

答案

（Ⅰ）f（x）+f（2a-x）=

x+1-a

a-x

+

2a-x+1-a

a-(2a-x)

=

x+1-a

a-x

+

a+1-x

x-a

=-2．（3分）
（Ⅱ）f（x）在（a，+∞）是增函数．证明如下：（4分）
设a＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=

x1+1-a

a-x1

-

x2+1-a

a-x2

=

x1-x2

(a-x1)(a-x2)

，

∵a＜x1＜x2， ∴a-x1＜0，a-x2＜0，x1-x2＜0， ∴f(x1)-f(x2)＜0.

∴函数f（x）在区间（a，+∞）上是增函数．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，f（x）在[a+

1

2

，a+1]上是增函数．
又f(a+

1

2

)=-3，f(a+1)=-2，
∴当f(x)的定义域是[a+

1

2

，a+1]时，f(x)值域为[-3，-2]．（12分）