题目

题型：填空题难度：一般来源：浦东新区一模

动点P在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上从B向D₁移动，点P作垂直于面BB₁D₁D的直线与正方体表面交于M，N，BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的解析式为______．

答案

由题意知，MN⊥平面BB₁D₁D，
则MN在底面ABCD上的射影是与对角线AC平行的直线，
∵BD=

3

，则DP=

3

-x
故当动点P在对角线BD₁上从点B向D₁运动时，x变大y变大，直到P为BD₁的中点（记为O）时，y最大为AC；
从而当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M₁、N₁、P₁，
则y=MN=M₁N₁=2BP₁=2•xcos∠D₁BD=2•

2

3

x=

2 6

3

x
而当P在DO上时，然后x变大y变小，直到y变为0，根据对称性可知
此时y=2

2

-

2 6

3

x
故答案为：y=

2 6 3 x，x∈[0， 3 2 ] 2 2 - 2 6 3 x，x∈[ 3 2 ， 3 ]

也可写为y=

2

-|

2

-

2 6

3

|，x∈[0，3]