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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0,x∈R)为奇函数,且f(x)在x=1处取得极大值2.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)记g(x)=
f(x)
x
+(k+1)lnx
,求函数y=g(x)的单调区间.
答案
(1)由f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),代入得,b=0
∴f′(x)=3ax2+c,且f(x)在x=1取得极大值2.





f′(1)=0
f(1)=2





3a+c=0
a+c=2.

解得a=-1,c=3,∴f(x)=-x3+3x
(2)∵g(x)=-x2+3+(k+1)lnx,
g′(x)=-2x+(k+1)
1
x
=
-2x2+(k+1)
x

因为函数定义域为(0,+∞),所以
①当k=-1时,g"(x)=-2x<0,
函数在(0,+∞)上单调递减;
②当k<-1时,k+1<0,∵x>0,
g′(x)=
-2x2+(k+1)
x
<0

∴函数在(0,+∞)上单调递减;
③k>-1时,k+1>0,令g"(x)>0,得
-2x2+(k+1)
x
>0

∵x>0,
∴-2x2+(k+1)>0,得-


k+1
2
<x<


k+1
2

结合x>0,得0<x<


k+1
2

令g"(x)<0,得
-2x2+(k+1)
x
<0
,同上得2x2>(k+1),x>


k+1
2

∴k>-1时,单调递增区间为(0,


k+1
2
),
单调递减区间为(


k+1
2
,+∞)
综上,当k≤-1时,函数的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;
当k>-1时,函数的单调递增区间为(0,


k+1
2
),
单调递减区间为(


k+1
2
,+∞)
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0,x∈R)为奇函数,且f(x)在x=1处取得极大值2.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)记g(x)=f(x)】;主要考察你对求函数解析式等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知f(


x
-1
)=x+2


x
,则f(x)______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设A(1,0),点C是曲线y=


1-x2
(0≤x≤1)上异于A的点,CD⊥y轴于D,,∠CAO=θ(其中O为原点),将|AC|+|CD|表示成关于θ的函数f(θ),则f(θ)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x-1)=x2,则f(x)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
一次函数y=f(x),若x∈[0,1],y∈[-1,1],则一次函数y=f(x)的解析式是(  )
A.y=2(x-1)B.y=
1
2
(x-1)
C.y=2x-1或y=-2x+1D.y=-2x-1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
某工厂2000年底某种产品年产量为a,若该产品年平均增长率为x,2011年底该厂这种产品的年产量为y,那么y与x的函数关系式为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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