题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（x^y）=yf（x）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f(

1

2

)＜0，求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）若f(

1

2

)＜0，解不等式f（|3x-2|-2x）＜0．

答案

（Ⅰ）令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），故f（1）=0…（4分）
证明：（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，∴存在s，t使得x₁=（

1

2

）^s，x₂=（

1

2

）^t，且s＞t．又f（

1

2

）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f[（

1

2

）^s]-f[（

1

2

）^t]=sf（

1

2

）-tf（

1

2

）=（s-t）f（

1

2

）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f（|3x-2|-2x）＜0   即：f（|3x-2|-2x）＜f（1）
由（Ⅱ）可知0＜|3x-2|-2x＜1
解得：

1

5

＜x＜

2

5

或2＜x＜3…（14分）