题目

题型：解答题难度：困难来源：北京高考真题

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）。（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（2）=2，u_n=f（2ⁿ）（n∈N*），求证u_n+1＞u_n（n∈N）。

答案

解：（1）
因为，
所以。
（2）f（x）是奇函数。
证明：因为，
所以
 
因此，f（x）为奇函数。
（3）证明：先用数学归纳法证明
（i）当n=1时，；
（ii）假设当n=k时，
那么当n=k+1时，

由以上两步可知，对任意
因为
所以。